0 前言

　　隨著制造業(yè)的不斷發(fā)展，復(fù)雜型面工件加工的用戶(hù)需求日益擴(kuò)大，因此，對(duì)復(fù)雜曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法的研究，也日益成為數(shù)控技術(shù)發(fā)展的首要任務(wù)，是否具有復(fù)雜曲面的加工功能，已成為評(píng)價(jià)高性能數(shù)控系統(tǒng)的重要指標(biāo)之一。

1 開(kāi)放式數(shù)控系統(tǒng)樣條曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃概述

　　采用直線(xiàn)插補(bǔ)，實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜曲面的高速、高精度加工需要較高的配置。除了通過(guò)用直線(xiàn)段逼近復(fù)雜曲線(xiàn)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜曲面的加工外，還可以用樣條來(lái)擬合復(fù)雜曲線(xiàn)，通過(guò)直接對(duì)樣條曲線(xiàn)進(jìn)行插補(bǔ)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜曲線(xiàn)的加工。在相同精度的條件下樣條曲線(xiàn)比直線(xiàn)段能描述更長(zhǎng)的零件輪廓，首先，對(duì)于同一個(gè)復(fù)雜曲面來(lái)說(shuō)，在相同的精度條件下，用樣條擬合后，其G代碼文件的大小不會(huì)超過(guò)用微小直線(xiàn)段方法的1/10；其次，由于在相同精度的條件下樣條曲線(xiàn)段比直線(xiàn)段能描述更長(zhǎng)的零件輪廓，因此，采用樣條方法后，每條G代碼規(guī)定的刀具路徑的長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于用微小直線(xiàn)段方法的刀具路徑長(zhǎng)度，這樣解釋器在單位時(shí)間內(nèi)可以解釋更長(zhǎng)的刀具路徑，使原來(lái)的數(shù)據(jù)饑荒問(wèn)題可以得到解決。另外由于樣條曲線(xiàn)可達(dá)到C2連續(xù)光滑，能夠避免刀具運(yùn)動(dòng)方向的突然變化，并能改善刀具的受力情況，使得刀具可以光滑地、“柔順地”從一點(diǎn)移到另一點(diǎn)，不會(huì)出現(xiàn)任何突然轉(zhuǎn)向，從而可以提高加工精度。由此看出，采用樣條方法可以以較小的成本，實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜曲線(xiàn)的高速、高精度加工。由于樣條方法具有G代碼文件小、擬合精度高、進(jìn)給速度大、無(wú)數(shù)據(jù)饑荒等優(yōu)點(diǎn)，樣條插補(bǔ)已經(jīng)逐漸應(yīng)用于高檔NC系統(tǒng)。采用參數(shù)樣條曲線(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)表現(xiàn)為所有有關(guān)曲線(xiàn)的操作都是在參數(shù)域內(nèi)進(jìn)行的，如各坐標(biāo)點(diǎn)的計(jì)算，曲線(xiàn)的幾何變換等，而且參數(shù)曲線(xiàn)的坐標(biāo)維數(shù)可以方便地增加，數(shù)控插補(bǔ)中的多坐標(biāo)聯(lián)動(dòng)插補(bǔ)可以直觀地通過(guò)參數(shù)聯(lián)系起來(lái)。需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題是三次樣條長(zhǎng)度的計(jì)算、步長(zhǎng)參數(shù)的計(jì)算、插補(bǔ)遞推公式、以及根據(jù)步長(zhǎng)參數(shù)求得三次樣條曲線(xiàn)上對(duì)應(yīng)的型值點(diǎn)。

2 刀具軌跡曲線(xiàn)的描述

　　三次樣條曲線(xiàn)可以用下列參數(shù)方程表示：

　　式中：RK，J（K＝1，2，3）是第i段三次樣條的系數(shù)矢量矢量，可以是二維的，也可以是三維的；u是無(wú)量綱參數(shù)，其取值范圍為：0≤u≤1。

　　由上式可知，如果給定n＋1個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和2個(gè)邊界條件，就可唯一確定一條刀具軌跡曲線(xiàn)，即通過(guò)求解所構(gòu)成的n＋l維線(xiàn)性方程組，可以得到通過(guò)任意兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)Pl和Pl＋1，的三次樣條曲線(xiàn)段的多項(xiàng)式矢量系數(shù)RK，Jk（k＝1，2，3）。

　　在采用基于S曲線(xiàn)加減速的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法時(shí)，需要注意的是如何從三次樣條曲線(xiàn)上得到輪廓步長(zhǎng)為ds時(shí)對(duì)應(yīng)的軌跡點(diǎn)，以及三次樣條曲線(xiàn)的長(zhǎng)度計(jì)算。

3 步長(zhǎng)參數(shù)的計(jì)算及插補(bǔ)遞推公式

　　步長(zhǎng)參數(shù)的計(jì)算必須保證算法能在一個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)實(shí)時(shí)完成，因而算法應(yīng)盡量簡(jiǎn)單。由于每個(gè)步長(zhǎng)參數(shù)增量都是對(duì)應(yīng)于一個(gè)插補(bǔ)周期的，因而弦長(zhǎng)相對(duì)于整個(gè)曲線(xiàn)而言是一個(gè)小量，為簡(jiǎn)化計(jì)算可用弧長(zhǎng)ds代替弦長(zhǎng)，由式（1）可得：

　　到此為止，可以按如下方法計(jì)算步長(zhǎng)參數(shù)u，根據(jù)u計(jì)算得到三次樣條曲線(xiàn)上的型值點(diǎn)：在插補(bǔ)開(kāi)始時(shí)，u0＝0，由此可以得到插補(bǔ)遞推公式：

　　參數(shù)u確定以后，根據(jù)式（1）可以很容易得到每個(gè)第n個(gè)插補(bǔ)周期的型值點(diǎn)。4 三次參數(shù)樣條運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法的實(shí)現(xiàn)

　　在參數(shù)三次樣條運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法的實(shí)現(xiàn)中定義了如下C結(jié)構(gòu)體來(lái)描述兩個(gè)型值點(diǎn)之間的三次樣條曲線(xiàn)：

　　由于在三次樣條曲線(xiàn)的構(gòu)造過(guò)程中，要求解，t＋1維線(xiàn)性方程組來(lái)確定各段三次樣條的系數(shù)，這個(gè)過(guò)程中包含大量的浮點(diǎn)運(yùn)算，使算法的實(shí)時(shí)性難以得到保證。因此，在三次樣條曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法實(shí)現(xiàn)中，應(yīng)該引入了一個(gè)三次樣條運(yùn)動(dòng)規(guī)劃預(yù)處理指令，通過(guò)該指令，把計(jì)算量較大、實(shí)時(shí)性要求不高的工作，如計(jì)算出各軸的三次曲線(xiàn)參數(shù)方程的系數(shù)及三次樣條的長(zhǎng)度等放在預(yù)處理階段完成。當(dāng)預(yù)處理結(jié)束時(shí)，才開(kāi)始三次樣條曲線(xiàn)的實(shí)時(shí)插補(bǔ)，參數(shù)化三次樣條實(shí)時(shí)插補(bǔ)算法流程如圖1。在非實(shí)時(shí)仿真環(huán)境下對(duì)表1給出的型值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的C樣條曲線(xiàn)進(jìn)行了規(guī)劃測(cè)試，參數(shù)配置如下：amax＝1000m/s2；v＝150mm/min；vmax＝6000mm/min；cycleTime＝0.002s。其中，amax為最大加速度，、為指定的編程速度，vmax系統(tǒng)的軸最大速度，cycleTime為插補(bǔ)周期。

圖1 三次樣條實(shí)時(shí)插補(bǔ)算法流程

　　由測(cè)試可知（曲線(xiàn)圖略，可以根據(jù)值點(diǎn)列表對(duì)應(yīng)得出），基于樣條曲線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法也可以在數(shù)控的運(yùn)動(dòng)控制器中實(shí)現(xiàn)。